Επίλυση 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 25x^{2}+ax+bx+16. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -40.

$$a=-20 b=-20$$

Γράψτε πάλι το 25x^{2}-40x+16 ως \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 5x στην πρώτη και το -4 στη δεύτερη ομάδα.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με -40 και το c με 16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -40 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 1600 και το -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -40 είναι 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{40}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Η αφαίρεση του 16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-40}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{16}{25} και το \frac{16}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Προσθέστε \frac{4}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=\frac{4}{5}$$