Επίλυση 25x^2-10x+1=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x + 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 25x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-10 ab=25\times 1=25$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 25.

$$-1,-25 -5,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-5 b=-5$$

Γράψτε πάλι το 25x^{2}-10x+1 ως \left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right).

$$\left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-1\right)\left(5x-1\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(5x-1\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 5x-1=0.

$$x=\frac{1}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με -10 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 100 και το -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$x=\frac{10}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{1}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$25x^{2}-10x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$25x^{2}-10x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=-\frac{1}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=-\frac{1}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{25}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{25} και το \frac{1}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=0$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{5}=0 x-\frac{1}{5}=0$$

Προσθέστε \frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{5} x=\frac{1}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=\frac{1}{5}$$