Επίλυση 25b^2-35b-120

$$25 b ^ { 2 } - 35 b - 120$$

Παράγοντας

$$5\left(b-3\right)\left(5b+8\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 5.

$$5\left(5b^{2}-7b-24\right)$$

Υπολογίστε 5b^{2}-7b-24. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5b^{2}+pb+qb-24. Για να βρείτε p και q, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$p+q=-7 pq=5\left(-24\right)=-120$$

Εφόσον το pq είναι αρνητικό, οι p και q έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το p+q είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$p=-15 q=8$$

Γράψτε πάλι το 5b^{2}-7b-24 ως \left(5b^{2}-15b\right)+\left(8b-24\right).

$$\left(5b^{2}-15b\right)+\left(8b-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5b στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$5b\left(b-3\right)+8\left(b-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο b-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(b-3\right)\left(5b+8\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$5\left(b-3\right)\left(5b+8\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$25b^{2}-35b-120=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$b=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 25\left(-120\right)}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -35 στο τετράγωνο.

$$b=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 25\left(-120\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$b=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-100\left(-120\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί -120.

$$b=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225+12000}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 1225 και το 12000.

$$b=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{13225}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 13225.

$$b=\frac{-\left(-35\right)±115}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -35 είναι 35.

$$b=\frac{35±115}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$b=\frac{35±115}{50}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση b=\frac{35±115}{50} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 35 και το 115.

$$b=\frac{150}{50}$$

Διαιρέστε το 150 με το 50.

$$b=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση b=\frac{35±115}{50} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 115 από 35.

$$b=-\frac{80}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-80}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$b=-\frac{8}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με το x_{1} και το -\frac{8}{5} με το x_{2}.

$$25b^{2}-35b-120=25\left(b-3\right)\left(b-\left(-\frac{8}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$25b^{2}-35b-120=25\left(b-3\right)\left(b+\frac{8}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{8}{5} και το b βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$25b^{2}-35b-120=25\left(b-3\right)\times \frac{5b+8}{5}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 5 σε 25 και 5.

$$25b^{2}-35b-120=5\left(b-3\right)\left(5b+8\right)$$

Υπολογισμός

$$5\left(b-3\right)\left(5b+8\right)$$