Επίλυση 25x^2-8x=12x-4

$$25 { x }^{ 2 } -8x=12x-4$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-8x-12x=-4$$

Συνδυάστε το -8x και το -12x για να λάβετε -20x.

$$25x^{2}-20x=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-20x+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 25x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-20 ab=25\times 4=100$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -20.

$$a=-10 b=-10$$

Γράψτε πάλι το 25x^{2}-20x+4 ως \left(25x^{2}-10x\right)+\left(-10x+4\right).

$$\left(25x^{2}-10x\right)+\left(-10x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 5x στην πρώτη και το -2 στη δεύτερη ομάδα.

$$5x\left(5x-2\right)-2\left(5x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(5x-2\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 5x-2=0.

$$x=\frac{2}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-8x-12x=-4$$

Συνδυάστε το -8x και το -12x για να λάβετε -20x.

$$25x^{2}-20x=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-20x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με -20 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-100\times 4}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-400}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 400 και το -400.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{-20}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -20 είναι 20.

$$x=\frac{20}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$x=\frac{20}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{20}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{2}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-8x-12x=-4$$

Συνδυάστε το -8x και το -12x για να λάβετε -20x.

$$25x^{2}-20x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25x^{2}-20x}{25}=-\frac{4}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{25}\right)x=-\frac{4}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{4}{25}$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{2}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{2}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{2}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{-4+4}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{4}{25} και το \frac{4}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=0$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{2}{5}=0 x-\frac{2}{5}=0$$

Προσθέστε \frac{2}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2}{5} x=\frac{2}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=\frac{2}{5}$$