Επίλυση 24x^2+x-10

$$24 x ^ { 2 } + x - 10$$

Παράγοντας

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 24x^{2}+ax+bx-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=1 ab=24\left(-10\right)=-240$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -240.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-15 b=16$$

Γράψτε πάλι το 24x^{2}+x-10 ως \left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right).

$$\left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$3x\left(8x-5\right)+2\left(8x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 8x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+x-10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-96\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί -10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+960}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 1 και το 960.

$$x=\frac{-1±\sqrt{961}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 961.

$$x=\frac{-1±31}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$x=\frac{-1±31}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±31}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 31.

$$x=\frac{30}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{5}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±31}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 31 από -1.

$$x=-\frac{32}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-32}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{8} με x_{1} και το -\frac{2}{3} με x_{2}.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{5}{8} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\times \frac{3x+2}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{8x-5}{8} επί \frac{3x+2}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{8\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 3.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{24}$$

Απαλοιφή του 24, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 24 και 24.

$$24x^{2}+x-10=\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Υπολογισμός

$$24x^{2}+x-10$$