Επίλυση 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$-1,8 -2,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-2 b=4$$

Γράψτε πάλι το 8x^{2}+2x-1 ως \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 4x-1=0 και 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 24, το b με 6 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 36 και το 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±18}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±18}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 18 από -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-24}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Η αφαίρεση του -3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Αφαιρέστε -3 από 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

Η διαίρεση με το 24 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{3}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Προσθέστε το \frac{1}{8} και το \frac{1}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$