Επίλυση 24x^2+1-11x

$$24 x ^ { 2 } + 1 - 11 x$$

Παράγοντας

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Βήματα λύσης

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$24x^{2}-11x+1$$

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 24x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-11 ab=24\times 1=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-8 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 24x^{2}-11x+1 ως \left(24x^{2}-8x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(24x^{2}-8x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 8x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$8x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}-11x+1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 24}}{2\times 24}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 24}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 121 και το -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 24}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$x=\frac{11±5}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$x=\frac{11±5}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±5}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το 5.

$$x=\frac{16}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±5}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 11.

$$x=\frac{6}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{8}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{3} με το x_{1} και το \frac{1}{8} με το x_{2}.

$$24x^{2}-11x+1=24\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{8} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{8x-1}{8}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3x-1}{3} επί \frac{8x-1}{8} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)}{3\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 8.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)}{24}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 24 σε 24 και 24.

$$24x^{2}-11x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$