Επίλυση 24x^2-82x+63=0

$$24 { x }^{ 2 } -82x+63=0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1,166666667$$

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$24x^{2}-82x+63=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 24, το b με -82 και το c με 63 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{\left(-82\right)^{2}-4\times 24\times 63}}{2\times 24}$$

Υψώστε το -82 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-4\times 24\times 63}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-96\times 63}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί 63.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-6048}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 6724 και το -6048.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{676}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 676.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±26}{2\times 24}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -82 είναι 82.

$$x=\frac{82±26}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$x=\frac{82±26}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{82±26}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 82 και το 26.

$$x=\frac{108}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{108}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=\frac{9}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{82±26}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 26 από 82.

$$x=\frac{56}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{56}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{7}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{7}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-82x+63=0$$

Αφαιρέστε 63 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$24x^{2}-82x+63-63=-63$$

Η αφαίρεση του 63 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$24x^{2}-82x=-63$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 24.

$$\frac{24x^{2}-82x}{24}=-\frac{63}{24}$$

Η διαίρεση με το 24 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{82}{24}\right)x=-\frac{63}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-82}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x=-\frac{63}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-63}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x=-\frac{21}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{41}{12}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{41}{24}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{41}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x+\left(-\frac{41}{24}\right)^{2}=-\frac{21}{8}+\left(-\frac{41}{24}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{41}{24} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x+\frac{1681}{576}=-\frac{21}{8}+\frac{1681}{576}$$

Προσθέστε το -\frac{21}{8} και το \frac{1681}{576} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x+\frac{1681}{576}=\frac{169}{576}$$

Παραγον x^{2}-\frac{41}{12}x+\frac{1681}{576}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{41}{24}=\frac{13}{24} x-\frac{41}{24}=-\frac{13}{24}$$

Προσθέστε \frac{41}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{7}{6}$$