Επίλυση 24x^2-38x+15=0

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 24x^{2}+ax+bx+15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -38.

$$a=-20 b=-18$$

Γράψτε πάλι το 24x^{2}-38x+15 ως \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right).

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 6x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 6x-5=0 και 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 24, το b με -38 και το c με 15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Υψώστε το -38 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 1444 και το -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -38 είναι 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{38±2}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 38 και το 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{40}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{5}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{38±2}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{36}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

Η αφαίρεση του 15 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

Η διαίρεση με το 24 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-38}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-15}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{19}{12}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{19}{24}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{19}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{19}{24} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{8} και το \frac{361}{576} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Παραγον x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Προσθέστε \frac{19}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$