Επίλυση 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Λύση ως προς k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12k^{2}+ak+bk+12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 25.

$$a=9 b=16$$

Γράψτε πάλι το 12k^{2}+25k+12 ως \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3k στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4k+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4k+3=0 και 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 24, το b με 50 και το c με 24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Υψώστε το 50 στο τετράγωνο.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 2500 και το -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-50±14}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -50 και το 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-50±14}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-64}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Αφαιρέστε 24 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Η αφαίρεση του 24 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Η διαίρεση με το 24 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{50}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Διαιρέστε το -24 με το 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Διαιρέστε το \frac{25}{12}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{25}{24}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{25}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{25}{24} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Παραγον k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Απλοποιήστε.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Αφαιρέστε \frac{25}{24} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$