Επίλυση 21x^2-x-2

$$21 { x }^{ 2 } -x-2$$

Παράγοντας

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 21x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=21\left(-2\right)=-42$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-7 b=6$$

Γράψτε πάλι το 21x^{2}-x-2 ως \left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right).

$$\left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$7x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}-x-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 21.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -84 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2\times 21}$$

Προσθέστε το 1 και το 168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2\times 21}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2\times 21}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±13}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 21.

$$x=\frac{1±13}{42}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±13}{42} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 13.

$$x=\frac{14}{42}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{42} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±13}{42} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 1.

$$x=-\frac{12}{42}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{42} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{2}{7}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{3} με το x_{1} και το -\frac{2}{7} με το x_{2}.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{7}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{7} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{7x+2}{7}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3x-1}{3} επί \frac{7x+2}{7} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{3\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 7.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{21}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 21 σε 21 και 21.

$$21x^{2}-x-2=\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$