Επίλυση 20x-2x^2=48

$$20x-2 { x }^{ 2 } =48$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 48 και από τις δύο πλευρές.

$$20x-2x^{2}-48=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$10x-x^{2}-24=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=6 b=4$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+10x-24 ως \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Αφαιρέστε 48 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Η αφαίρεση του 48 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 20 και το c με -48 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 400 και το -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±4}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -20 και το 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Διαιρέστε το -16 με το -4.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±4}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Διαιρέστε το -24 με το -4.

$$x=6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Διαιρέστε το 20 με το -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Διαιρέστε το 48 με το -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Διαιρέστε το -10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Προσθέστε το -24 και το 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Παραγον x^{2}-10x+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Απλοποιήστε.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=4$$