Επίλυση 20x+2x^2=150

$$20x+2 { x }^{ 2 } =150$$

Λύση ως προς x

$$x=-15$$

$$x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 150 και από τις δύο πλευρές.

$$20x+2x^{2}-150=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$10x+x^{2}-75=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+10x-75=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-75. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=1\left(-75\right)=-75$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -75.

$$-1,75 -3,25 -5,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+75=74 -3+25=22 -5+15=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-5 b=15$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+10x-75 ως \left(x^{2}-5x\right)+\left(15x-75\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(15x-75\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 15 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-5\right)+15\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(x+15\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-5=0 και x+15=0.

$$x=5 x=-15$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+20x=150$$

Αφαιρέστε 150 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+20x-150=150-150$$

Η αφαίρεση του 150 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+20x-150=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 20 και το c με -150 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 2\left(-150\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 2\left(-150\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-8\left(-150\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -150.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+1200}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 400 και το 1200.

$$x=\frac{-20±\sqrt{1600}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1600.

$$x=\frac{-20±40}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-20±40}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±40}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -20 και το 40.

$$x=\frac{20}{4}$$

Διαιρέστε το 20 με το 4.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±40}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 40 από -20.

$$x=-\frac{60}{4}$$

Διαιρέστε το -60 με το 4.

$$x=-15$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=5 x=-15$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+20x=150$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+20x}{2}=\frac{150}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{20}{2}x=\frac{150}{2}$$

Διαιρέστε το 20 με το 2.

$$x^{2}+10x=\frac{150}{2}$$

Διαιρέστε το 150 με το 2.

$$x^{2}+10x=75$$

Διαιρέστε το 10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+10x+5^{2}=75+5^{2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+10x+25=75+25$$

Προσθέστε το 75 και το 25.

$$x^{2}+10x+25=100$$

Παραγον x^{2}+10x+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=100$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Απλοποιήστε.

$$x+5=10 x+5=-10$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=-15$$