Επίλυση 20z^2+24z-9

$$20 z ^ { 2 } + 24 z - 9$$

Παράγοντας

$$\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 20z^{2}+az+bz-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=24 ab=20\left(-9\right)=-180$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 24.

$$a=-6 b=30$$

Γράψτε πάλι το 20z^{2}+24z-9 ως \left(20z^{2}-6z\right)+\left(30z-9\right).

$$\left(20z^{2}-6z\right)+\left(30z-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2z στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2z\left(10z-3\right)+3\left(10z-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 10z-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$20z^{2}+24z-9=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 20\left(-9\right)}}{2\times 20}$$

Υψώστε το 24 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 20\left(-9\right)}}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 20.

$$z=\frac{-24±\sqrt{576-80\left(-9\right)}}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το -80 επί -9.

$$z=\frac{-24±\sqrt{576+720}}{2\times 20}$$

Προσθέστε το 576 και το 720.

$$z=\frac{-24±\sqrt{1296}}{2\times 20}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1296.

$$z=\frac{-24±36}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 20.

$$z=\frac{-24±36}{40}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-24±36}{40} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -24 και το 36.

$$z=\frac{12}{40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$z=\frac{3}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-24±36}{40} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 36 από -24.

$$z=-\frac{60}{40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-60}{40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 20.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{10} με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$20z^{2}+24z-9=20\left(z-\frac{3}{10}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$20z^{2}+24z-9=20\left(z-\frac{3}{10}\right)\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Αφαιρέστε z από \frac{3}{10} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$20z^{2}+24z-9=20\times \frac{10z-3}{10}\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το z βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$20z^{2}+24z-9=20\times \frac{10z-3}{10}\times \frac{2z+3}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{10z-3}{10} επί \frac{2z+3}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$20z^{2}+24z-9=20\times \frac{\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)}{10\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 10 επί 2.

$$20z^{2}+24z-9=20\times \frac{\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)}{20}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 20 σε 20 και 20.

$$20z^{2}+24z-9=\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)$$