Επίλυση 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 20, το b με -28 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Υψώστε το -28 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το -80 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Προσθέστε το 784 και το 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -28 είναι 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 28 και το 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Διαιρέστε το 28+12\sqrt{6} με το 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12\sqrt{6} από 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Διαιρέστε το 28-12\sqrt{6} με το 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Η αφαίρεση του -1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Αφαιρέστε -1 από 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Η διαίρεση με το 20 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-28}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Προσθέστε το \frac{1}{20} και το \frac{49}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Προσθέστε \frac{7}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$