Επίλυση 20t^2-17t=63

$$20 t ^ { 2 } - 17 t = 63$$

Λύση ως προς t

$$t = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1,4$$

$$t = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 63 και από τις δύο πλευρές.

$$20t^{2}-17t-63=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 20t^{2}+at+bt-63. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-17 ab=20\left(-63\right)=-1260$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -1260.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -17.

$$a=-45 b=28$$

Γράψτε πάλι το 20t^{2}-17t-63 ως \left(20t^{2}-45t\right)+\left(28t-63\right).

$$\left(20t^{2}-45t\right)+\left(28t-63\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5t στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$5t\left(4t-9\right)+7\left(4t-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4t-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4t-9\right)\left(5t+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4t-9=0 και 5t+7=0.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$20t^{2}-17t=63$$

Αφαιρέστε 63 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$20t^{2}-17t-63=63-63$$

Η αφαίρεση του 63 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$20t^{2}-17t-63=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 20, το b με -17 και το c με -63 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 20\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Υψώστε το -17 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 20\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 20.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-80\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το -80 επί -63.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+5040}}{2\times 20}$$

Προσθέστε το 289 και το 5040.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{5329}}{2\times 20}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 5329.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±73}{2\times 20}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -17 είναι 17.

$$t=\frac{17±73}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 20.

$$t=\frac{17±73}{40}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{17±73}{40} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 17 και το 73.

$$t=\frac{90}{40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{90}{40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$t=\frac{9}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{17±73}{40} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 73 από 17.

$$t=-\frac{56}{40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-56}{40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$t=-\frac{7}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$20t^{2}-17t=63$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 20.

$$\frac{20t^{2}-17t}{20}=\frac{63}{20}$$

Η διαίρεση με το 20 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 20.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t=\frac{63}{20}$$

Διαιρέστε το -\frac{17}{20}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{17}{40}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{17}{40} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{63}{20}+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{17}{40} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}=\frac{63}{20}+\frac{289}{1600}$$

Προσθέστε το \frac{63}{20} και το \frac{289}{1600} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}=\frac{5329}{1600}$$

Παραγον t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{5329}{1600}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(t-\frac{17}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{1600}}$$

Απλοποιήστε.

$$t-\frac{17}{40}=\frac{73}{40} t-\frac{17}{40}=-\frac{73}{40}$$

Προσθέστε \frac{17}{40} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$