Επίλυση 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 20x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-5 b=4$$

Γράψτε πάλι το 20x^{2}-x-1 ως \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 5x στην εξίσωση 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4x-1=0 και 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 20, το b με -1 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το -80 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Προσθέστε το 1 και το 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±9}{40} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±9}{40} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Η αφαίρεση του -1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Αφαιρέστε -1 από 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Η διαίρεση με το 20 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{20}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{40}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{40} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{40} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Προσθέστε το \frac{1}{20} και το \frac{1}{1600} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Προσθέστε \frac{1}{40} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$