Επίλυση 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-600. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-20 b=30$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+10x-600 ως \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 30 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-20 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-20=0 και x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με 250 και το c με -15000 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Υψώστε το 250 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 62500 και το 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-250±1250}{50} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -250 και το 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Διαιρέστε το 1000 με το 50.

$$x=20$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-250±1250}{50} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1250 από -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Διαιρέστε το -1500 με το 50.

$$x=-30$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=20 x=-30$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Προσθέστε 15000 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Η αφαίρεση του -15000 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Αφαιρέστε -15000 από 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Διαιρέστε το 250 με το 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Διαιρέστε το 15000 με το 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Διαιρέστε το 10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Προσθέστε το 600 και το 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+10x+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Απλοποιήστε.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=20 x=-30$$