Επίλυση 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 25 με το 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7 με το 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 35-7x με το 5+x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Προσθέστε 400 και 175 για να λάβετε 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -7x^{2} για να λάβετε 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Αφαιρέστε 295 και από τις δύο πλευρές.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Αφαιρέστε 295 από 575 για να λάβετε 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Προσθήκη 45x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 18x^{2} και το 45x^{2} για να λάβετε 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 63, το b με 200 και το c με 280 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Υψώστε το 200 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Πολλαπλασιάστε το -252 επί 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Προσθέστε το 40000 και το -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -200 και το 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Διαιρέστε το -200+4i\sqrt{1910} με το 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{1910} από -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Διαιρέστε το -200-4i\sqrt{1910} με το 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 25 με το 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7 με το 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 35-7x με το 5+x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Προσθέστε 400 και 175 για να λάβετε 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -7x^{2} για να λάβετε 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Προσθήκη 45x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Συνδυάστε το 18x^{2} και το 45x^{2} για να λάβετε 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Αφαιρέστε 575 και από τις δύο πλευρές.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Αφαιρέστε 575 από 295 για να λάβετε -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Η διαίρεση με το 63 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-280}{63} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Διαιρέστε το \frac{200}{63}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{100}{63}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{100}{63} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{100}{63} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Προσθέστε το -\frac{40}{9} και το \frac{10000}{3969} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Παραγον x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Αφαιρέστε \frac{100}{63} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$