Επίλυση 2z^2-23z+30

$$2 z ^ { 2 } - 23 z + 30$$

Παράγοντας

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2z^{2}+az+bz+30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-23 ab=2\times 30=60$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -23.

$$a=-20 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 2z^{2}-23z+30 ως \left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right).

$$\left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2z στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$2z\left(z-10\right)-3\left(z-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο z-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2z^{2}-23z+30=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -23 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-8\times 30}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 30.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-240}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 529 και το -240.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±17}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -23 είναι 23.

$$z=\frac{23±17}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$z=\frac{23±17}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{23±17}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 23 και το 17.

$$z=\frac{40}{4}$$

Διαιρέστε το 40 με το 4.

$$z=10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{23±17}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από 23.

$$z=\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$z=\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 10 με το x_{1} και το \frac{3}{2} με το x_{2}.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\left(z-\frac{3}{2}\right)$$

Αφαιρέστε z από \frac{3}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\times \frac{2z-3}{2}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 2 και 2.

$$2z^{2}-23z+30=\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$