Επίλυση 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Λύση ως προς z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -2 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 4 και το -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{2±6i}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Διαιρέστε το 2+6i με το 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{2±6i}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6i από 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Διαιρέστε το 2-6i με το 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{2} και το \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Παραγον z^{2}-z+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$