Επίλυση 2z^2+11z+18=0

$$2 z ^ { 2 } + 11 z + 18 = 0$$

Λύση ως προς z

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4}\approx -2,75+1,198957881i$$

$$z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}\approx -2,75-1,198957881i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2z^{2}+11z+18=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 11 και το c με 18 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 18}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 18.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-144}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 121 και το -144.

$$z=\frac{-11±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -23.

$$z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το i\sqrt{23}.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{23} από -11.

$$z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4} z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}+11z+18=0$$

Αφαιρέστε 18 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2z^{2}+11z+18-18=-18$$

Η αφαίρεση του 18 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2z^{2}+11z=-18$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2z^{2}+11z}{2}=-\frac{18}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z=-\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το -18 με το 2.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z=-9$$

Διαιρέστε το \frac{11}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{11}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=-9+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{11}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}=-9+\frac{121}{16}$$

Προσθέστε το -9 και το \frac{121}{16}.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}=-\frac{23}{16}$$

Παραγον z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$z+\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} z+\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{11}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4} z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$