Επίλυση 2y^2+13y-24

$$2 y ^ { 2 } + 13 y - 24$$

Παράγοντας

$$\left(2y-3\right)\left(y+8\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2y^{2}+ay+by-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=-3 b=16$$

Γράψτε πάλι το 2y^{2}+13y-24 ως \left(2y^{2}-3y\right)+\left(16y-24\right).

$$\left(2y^{2}-3y\right)+\left(16y-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(2y-3\right)+8\left(2y-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2y-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2y-3\right)\left(y+8\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2y^{2}+13y-24=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -24.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 169 και το 192.

$$y=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$y=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$y=\frac{-13±19}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-13±19}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 19.

$$y=\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-13±19}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από -13.

$$y=-\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το -32 με το 4.

$$y=-8$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{2} με το x_{1} και το -8 με το x_{2}.

$$2y^{2}+13y-24=2\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\left(-8\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$2y^{2}+13y-24=2\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y+8\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{3}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2y^{2}+13y-24=2\times \frac{2y-3}{2}\left(y+8\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 2 και 2.

$$2y^{2}+13y-24=\left(2y-3\right)\left(y+8\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2y-3\right)\left(y+8\right)$$