Επίλυση 2x^4-7x^3-7x^2+35x-15=0

$$2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 35 x - 15 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}\approx -2,236067977$$

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα λύσης

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -15 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 2. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=3$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το 2x^{4}-7x^{3}-7x^{2}+35x-15 με το x-3 για να λάβετε 2x^{3}-x^{2}-10x+5. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$2x^{3}-x^{2}-10x+5=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 5 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 2. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=\frac{1}{2}$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το 2x^{3}-x^{2}-10x+5 με το 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 για να λάβετε x^{2}-5. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}-5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 0 για b και -5 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{0±2\sqrt{5}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x^{2}-5=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=3 x=\frac{1}{2} x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$