Επίλυση 2x^2-9x-81

$$2 x ^ { 2 } - 9 x - 81$$

Παράγοντας

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-81. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=2\left(-81\right)=-162$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -162.

$$1,-162 2,-81 3,-54 6,-27 9,-18$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-162=-161 2-81=-79 3-54=-51 6-27=-21 9-18=-9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-18 b=9$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-9x-81 ως \left(2x^{2}-18x\right)+\left(9x-81\right).

$$\left(2x^{2}-18x\right)+\left(9x-81\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-9\right)+9\left(x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-9x-81=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -81.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+648}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 81 και το 648.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 729.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±27}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$x=\frac{9±27}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{9±27}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±27}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 27.

$$x=\frac{36}{4}$$

Διαιρέστε το 36 με το 4.

$$x=9$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±27}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 27 από 9.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 9 με το x_{1} και το -\frac{9}{2} με το x_{2}.

$$2x^{2}-9x-81=2\left(x-9\right)\left(x-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$2x^{2}-9x-81=2\left(x-9\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{9}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2x^{2}-9x-81=2\left(x-9\right)\times \frac{2x+9}{2}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 2 και 2.

$$2x^{2}-9x-81=\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$