Επίλυση 2x^2-6x-(7x-21)=0

$$2 x ^ { 2 } - 6 x - ( 7 x - 21 ) = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να βρείτε τον αντίθετο του 7x-21, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}-6x-7x+21=0$$

Συνδυάστε το -6x και το -7x για να λάβετε -13x.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-7 b=-6$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-13x+21 ως \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-7=0 και x-3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Για να βρείτε τον αντίθετο του 7x-21, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}-6x-7x+21=0$$

Συνδυάστε το -6x και το -7x για να λάβετε -13x.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -13 και το c με 21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 169 και το -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -13 είναι 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±1}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 13 και το 1.

$$x=\frac{14}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±1}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από 13.

$$x=\frac{12}{4}$$

Διαιρέστε το 12 με το 4.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Για να βρείτε τον αντίθετο του 7x-21, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}-6x-7x+21=0$$

Συνδυάστε το -6x και το -7x για να λάβετε -13x.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$2x^{2}-13x=-21$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{13}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{21}{2} και το \frac{169}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

Προσθέστε \frac{13}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$