Επίλυση 2x^2-6x=56

$$2 x ^ { 2 } - 6 x = 56$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 56 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-6x-56=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-28. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-7 b=4$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-3x-28 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-6x=56$$

Αφαιρέστε 56 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-6x-56=56-56$$

Η αφαίρεση του 56 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-6x-56=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -6 και το c με -56 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\left(-56\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\left(-56\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\left(-56\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -56.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+448}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 36 και το 448.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{484}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 484.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±22}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -6 είναι 6.

$$x=\frac{6±22}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{6±22}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±22}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 6 και το 22.

$$x=\frac{28}{4}$$

Διαιρέστε το 28 με το 4.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±22}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 22 από 6.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το -16 με το 4.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-6x=56$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=\frac{56}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=\frac{56}{2}$$

Διαιρέστε το -6 με το 2.

$$x^{2}-3x=\frac{56}{2}$$

Διαιρέστε το 56 με το 2.

$$x^{2}-3x=28$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 28 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Παραγον x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=-4$$