Επίλυση 2x^2-5x+2<0

$$2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 < 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(\frac{1}{2},2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-5x+2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 2 για a, -5 για b και 2 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{5±3}{4}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{5±3}{4} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$2\left(x-2\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα x-2 και x-\frac{1}{2} πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-2 είναι θετικό και το x-\frac{1}{2} είναι αρνητικό.

$$x-2>0 x-\frac{1}{2}<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\frac{1}{2} είναι θετικό και το x-2 είναι αρνητικό.

$$x-\frac{1}{2}>0 x-2<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left(\frac{1}{2},2\right).

$$x\in \left(\frac{1}{2},2\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \left(\frac{1}{2},2\right)$$