Επίλυση 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-7 b=4$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-3x-14 ως \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-7=0 και x+2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -3 και το c με -14 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 9 και το 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±11}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±11}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Διαιρέστε το -8 με το 4.

$$x=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Προσθέστε 14 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Η αφαίρεση του -14 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Αφαιρέστε -14 από 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το 14 με το 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το 7 και το \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$