Επίλυση 2x^2-28x+98=0

$$2 x ^ { 2 } - 28 x + 98 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x^{2}-14x+49=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+49. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=1\times 49=49$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 49.

$$-1,-49 -7,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-49=-50 -7-7=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-7 b=-7$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-14x+49 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -7 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-7\right)-7\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x-7\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(x-7\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το x-7=0.

$$x=7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -28 και το c με 98 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -28 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-8\times 98}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 98.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-784}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 784 και το -784.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{-28}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -28 είναι 28.

$$x=\frac{28}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{28}{4}$$

Διαιρέστε το 28 με το 4.

$$x=7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

Αφαιρέστε 98 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-28x+98-98=-98$$

Η αφαίρεση του 98 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-28x=-98$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-28x}{2}=-\frac{98}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{2}\right)x=-\frac{98}{2}$$

Διαιρέστε το -28 με το 2.

$$x^{2}-14x=-\frac{98}{2}$$

Διαιρέστε το -98 με το 2.

$$x^{2}-14x=-49$$

Διαιρέστε το -14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-49+\left(-7\right)^{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+49=-49+49$$

Προσθέστε το -49 και το 49.

$$x^{2}-14x+49=0$$

Παραγον x^{2}-14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x-7=0 x-7=0$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=7$$