Επίλυση 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

$$x=9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+27. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -12.

$$a=-9 b=-3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-12x+27 ως \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-9=0 και x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -24 και το c με 54 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -24 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 576 και το -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -24 είναι 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±12}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 24 και το 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Διαιρέστε το 36 με το 4.

$$x=9$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±12}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Διαιρέστε το 12 με το 4.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=9 x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Αφαιρέστε 54 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Η αφαίρεση του 54 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Διαιρέστε το -24 με το 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Διαιρέστε το -54 με το 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Διαιρέστε το -12, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -6. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Προσθέστε το -27 και το 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Παραγον x^{2}-12x+36. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Απλοποιήστε.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Προσθέστε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=9 x=3$$