Επίλυση 2x^2-24x+25x-300=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 25 x - 300 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2} = -12,5$$

$$x=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Συνδυάστε το -24x και το 25x για να λάβετε x.

$$2x^{2}+x-300=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-300. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=2\left(-300\right)=-600$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-24 b=25$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+x-300 ως \left(2x^{2}-24x\right)+\left(25x-300\right).

$$\left(2x^{2}-24x\right)+\left(25x-300\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 25 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-12\right)+25\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(2x+25\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και 2x+25=0.

$$x=12 x=-\frac{25}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Συνδυάστε το -24x και το 25x για να λάβετε x.

$$2x^{2}+x-300=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 1 και το c με -300 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -300.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+2400}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 1 και το 2400.

$$x=\frac{-1±\sqrt{2401}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2401.

$$x=\frac{-1±49}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-1±49}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±49}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 49.

$$x=\frac{48}{4}$$

Διαιρέστε το 48 με το 4.

$$x=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±49}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 49 από -1.

$$x=-\frac{50}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-50}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{25}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=12 x=-\frac{25}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Συνδυάστε το -24x και το 25x για να λάβετε x.

$$2x^{2}+x-300=0$$

Προσθήκη 300 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$2x^{2}+x=300$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{300}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{300}{2}$$

Διαιρέστε το 300 με το 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=150$$

Διαιρέστε το \frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=150+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=150+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το 150 και το \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{2401}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{2401}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{49}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=12 x=-\frac{25}{2}$$