Επίλυση 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 28 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Αφαιρέστε 28 από -12 για να λάβετε -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-5 b=4$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-x-20 ως \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 4 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-5=0 και x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Αφαιρέστε 28 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Η αφαίρεση του 28 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Αφαιρέστε 28 από -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -2 και το c με -40 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 4 και το 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±18}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Διαιρέστε το 20 με το 4.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±18}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 18 από 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το -16 με το 4.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=5 x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Προσθέστε 12 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Η αφαίρεση του -12 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Αφαιρέστε -12 από 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το 40 με το 2.

$$x^{2}-x=20$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 20 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=-4$$