Επίλυση 2x^2-13x-24

$$2 x ^ { 2 } - 13 x - 24$$

Παράγοντας

$$\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-16 b=3$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-13x-24 ως \left(2x^{2}-16x\right)+\left(3x-24\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(3x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-8\right)+3\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-13x-24=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -24.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 169 και το 192.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±19}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -13 είναι 13.

$$x=\frac{13±19}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{13±19}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±19}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 13 και το 19.

$$x=\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το 32 με το 4.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±19}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από 13.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 8 με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$2x^{2}-13x-24=2\left(x-8\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$2x^{2}-13x-24=2\left(x-8\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2x^{2}-13x-24=2\left(x-8\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 2 και 2.

$$2x^{2}-13x-24=\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$