Επίλυση 2x^2-13x+20

$$2 x ^ { 2 } - 13 x + 20$$

Παράγοντας

$$\left(x-4\right)\left(2x-5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=2\times 20=40$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-8 b=-5$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-13x+20 ως \left(2x^{2}-8x\right)+\left(-5x+20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(-5x+20\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-4\right)-5\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(2x-5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-13x+20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 20}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 20.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-160}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 169 και το -160.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±3}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -13 είναι 13.

$$x=\frac{13±3}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{13±3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±3}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 13 και το 3.

$$x=\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το 16 με το 4.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±3}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 4 με το x_{1} και το \frac{5}{2} με το x_{2}.

$$2x^{2}-13x+20=2\left(x-4\right)\left(x-\frac{5}{2}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{5}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2x^{2}-13x+20=2\left(x-4\right)\times \frac{2x-5}{2}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 2 και 2.

$$2x^{2}-13x+20=\left(x-4\right)\left(2x-5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-4\right)\left(2x-5\right)$$