Επίλυση 2x^2-11x-21

$$2 x ^ { 2 } - 11 x - 21$$

Παράγοντας

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-11 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-14 b=3$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-11x-21 ως \left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην πρώτη και το 3 στη δεύτερη ομάδα.

$$2x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-11x-21=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -21.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+168}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 121 και το 168.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±17}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$x=\frac{11±17}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{11±17}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±17}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το 17.

$$x=\frac{28}{4}$$

Διαιρέστε το 28 με το 4.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±17}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 7 με x_{1} και το -\frac{3}{2} με x_{2}.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Απαλοιφή του 2, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 2 και 2.

$$2x^{2}-11x-21=\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$