Επίλυση 2x^2+5x-12=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 12 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-3 b=8$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+5x-12 ως \left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 4 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 2x-3=0 και x+4=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 5 και το c με -12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 25 και το 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-5±11}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±11}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 11.

$$x=\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±11}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -5.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το -16 με το 4.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Προσθέστε 12 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Η αφαίρεση του -12 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-12\right)$$

Αφαιρέστε -12 από 0.

$$2x^{2}+5x=12$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{12}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=6$$

Διαιρέστε το \frac{5}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Προσθέστε το 6 και το \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$