Επίλυση 2x^2+4x-96=0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x - 96 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-8$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x^{2}+2x-48=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-48. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-6 b=8$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+2x-48 ως \left(x^{2}-6x\right)+\left(8x-48\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(8x-48\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-6\right)+8\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(x+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x+8=0.

$$x=6 x=-8$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+4x-96=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 4 και το c με -96 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -96.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+768}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 16 και το 768.

$$x=\frac{-4±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$x=\frac{-4±28}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-4±28}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±28}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 28.

$$x=\frac{24}{4}$$

Διαιρέστε το 24 με το 4.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±28}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από -4.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το -32 με το 4.

$$x=-8$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=-8$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x-96=0$$

Προσθέστε 96 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+4x-96-\left(-96\right)=-\left(-96\right)$$

Η αφαίρεση του -96 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+4x=-\left(-96\right)$$

Αφαιρέστε -96 από 0.

$$2x^{2}+4x=96$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=\frac{96}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=\frac{96}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$x^{2}+2x=\frac{96}{2}$$

Διαιρέστε το 96 με το 2.

$$x^{2}+2x=48$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=48+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=48+1$$

Προσθέστε το 48 και το 1.

$$x^{2}+2x+1=49$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=49$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=7 x+1=-7$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=-8$$