Επίλυση 2x^2+4x+11=0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x + 11 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1\approx -1+2,121320344i$$

$$x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1\approx -1-2,121320344i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+4x+11=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 4 και το c με 11 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\times 11}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 11.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-88}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 16 και το -88.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-72}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -72.

$$x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 6i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+6\sqrt{2}i}{4}$$

Διαιρέστε το -4+6i\sqrt{2} με το 4.

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6i\sqrt{2} από -4.

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i-4}{4}$$

Διαιρέστε το -4-6i\sqrt{2} με το 4.

$$x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x+11=0$$

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+4x+11-11=-11$$

Η αφαίρεση του 11 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+4x=-11$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=-\frac{11}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$x^{2}+2x=-\frac{11}{2}$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-\frac{11}{2}+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{11}{2}+1$$

Προσθέστε το -\frac{11}{2} και το 1.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{9}{2}$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-\frac{9}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{2}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=\frac{3\sqrt{2}i}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$