Επίλυση 2x^2+21x-11=0

$$2 x ^ { 2 } + 21 x - 11 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-11$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-11. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=21 ab=2\left(-11\right)=-22$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -22.

$$-1,22 -2,11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+22=21 -2+11=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 21.

$$a=-1 b=22$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+21x-11 ως \left(2x^{2}-x\right)+\left(22x-11\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(22x-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 11 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x-1\right)+11\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(x+11\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-1=0 και x+11=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-11$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+21x-11=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 21 και το c με -11 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 21 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-8\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -11.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+88}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 441 και το 88.

$$x=\frac{-21±\sqrt{529}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$x=\frac{-21±23}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-21±23}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-21±23}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -21 και το 23.

$$x=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-21±23}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από -21.

$$x=-\frac{44}{4}$$

Διαιρέστε το -44 με το 4.

$$x=-11$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{2} x=-11$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+21x-11=0$$

Προσθέστε 11 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+21x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Η αφαίρεση του -11 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+21x=-\left(-11\right)$$

Αφαιρέστε -11 από 0.

$$2x^{2}+21x=11$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+21x}{2}=\frac{11}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{21}{2}x=\frac{11}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{21}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{21}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{21}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{21}{2}x+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{11}{2}+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{21}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{21}{2}x+\frac{441}{16}=\frac{11}{2}+\frac{441}{16}$$

Προσθέστε το \frac{11}{2} και το \frac{441}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{21}{2}x+\frac{441}{16}=\frac{529}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{21}{2}x+\frac{441}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{529}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{21}{4}=\frac{23}{4} x+\frac{21}{4}=-\frac{23}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{21}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=-11$$