Επίλυση 2x^2+17x+21=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=3 b=14$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+17x+21 ως \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x+3=0 και x+7=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 17 και το c με 21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 289 και το -168.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±11}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±11}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -17.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Διαιρέστε το -28 με το 4.

$$x=-7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

Η αφαίρεση του 21 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+17x=-21$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{17}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{17}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{17}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{17}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{21}{2} και το \frac{289}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{17}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$