Επίλυση 2x^2+14x-4=-x^2+3x

$$2 x ^ { 2 } + 14 x - 4 = - x ^ { 2 } + 3 x$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Συνδυάστε το 14x και το -3x για να λάβετε 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=-1 b=12$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+11x-4 ως \left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-1\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-1=0 και x+4=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Συνδυάστε το 14x και το -3x για να λάβετε 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 11 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 121 και το 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-11±13}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±13}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 13.

$$x=\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±13}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -11.

$$x=-\frac{24}{6}$$

Διαιρέστε το -24 με το 6.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Συνδυάστε το 14x και το -3x για να λάβετε 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$3x^{2}+11x=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{4}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{4}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{11}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{11}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{11}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{11}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το \frac{121}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Παραγον x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{11}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$