Επίλυση 2x^2+11x+9=10x+10

$$2 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 10 x + 10$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 10x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+11x+9-10x=10$$

Συνδυάστε το 11x και το -10x για να λάβετε x.

$$2x^{2}+x+9=10$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+x+9-10=0$$

Αφαιρέστε 10 από 9 για να λάβετε -1.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-1 b=2$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+x-1 ως \left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 2x^{2}-x.

$$x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-1=0 και x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 10x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+11x+9-10x=10$$

Συνδυάστε το 11x και το -10x για να λάβετε x.

$$2x^{2}+x+9=10$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+x+9-10=0$$

Αφαιρέστε 10 από 9 για να λάβετε -1.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 1 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 1 και το 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-1±3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±3}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±3}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Διαιρέστε το -4 με το 4.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 10x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+11x+9-10x=10$$

Συνδυάστε το 11x και το -10x για να λάβετε x.

$$2x^{2}+x+9=10$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+x=10-9$$

Αφαιρέστε 9 από 10 για να λάβετε 1.

$$2x^{2}+x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{1}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το \frac{1}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$