Επίλυση 2x^2+11x+12

$$2 x ^ { 2 } + 11 x + 12$$

Παράγοντας

$$\left(x+4\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=2\times 12=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=3 b=8$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+11x+12 ως \left(2x^{2}+3x\right)+\left(8x+12\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(8x+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x+3\right)+4\left(2x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x+3\right)\left(x+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+11x+12=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 12}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 121 και το -96.

$$x=\frac{-11±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-11±5}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-11±5}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±5}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 5.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±5}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -11.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το -16 με το 4.

$$x=-4$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{3}{2} με το x_{1} και το -4 με το x_{2}.

$$2x^{2}+11x+12=2\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$2x^{2}+11x+12=2\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+4\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2x^{2}+11x+12=2\times \frac{2x+3}{2}\left(x+4\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 2 και 2.

$$2x^{2}+11x+12=\left(2x+3\right)\left(x+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x+4\right)\left(2x+3\right)$$