Επίλυση 2x^2+10x=72

$$2 x ^ { 2 } + 10 x = 72$$

Λύση ως προς x

$$x=-9$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 72 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+10x-72=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x^{2}+5x-36=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-36. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=1\left(-36\right)=-36$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-4 b=9$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+5x-36 ως \left(x^{2}-4x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(9x-36\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x+9=0.

$$x=4 x=-9$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+10x=72$$

Αφαιρέστε 72 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+10x-72=72-72$$

Η αφαίρεση του 72 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+10x-72=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 10 και το c με -72 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 2\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 2\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-8\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -72.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 100 και το 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-10±26}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±26}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 26.

$$x=\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το 16 με το 4.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±26}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 26 από -10.

$$x=-\frac{36}{4}$$

Διαιρέστε το -36 με το 4.

$$x=-9$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-9$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+10x=72$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+10x}{2}=\frac{72}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{10}{2}x=\frac{72}{2}$$

Διαιρέστε το 10 με το 2.

$$x^{2}+5x=\frac{72}{2}$$

Διαιρέστε το 72 με το 2.

$$x^{2}+5x=36$$

Διαιρέστε το 5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το 36 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

Παραγον x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-9$$