Επίλυση 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Λύση ως προς t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2t^{2}+at+bt-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-6 b=3$$

Γράψτε πάλι το 2t^{2}-3t-9 ως \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2t στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο t-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε t-3=0 και 2t+3=0.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -3 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 9 και το 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{3±9}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Διαιρέστε το 12 με το 4.

$$t=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{3±9}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Η αφαίρεση του -9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Αφαιρέστε -9 από 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το \frac{9}{2} και το \frac{9}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Παραγον t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$