Επίλυση 2r^2-5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } - 5 r + 2 = 0$$

Λύση ως προς r

$$r=\frac{1}{2}=0,5$$

$$r=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2r^{2}+ar+br+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=2\times 2=4$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-4 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 2r^{2}-5r+2 ως \left(2r^{2}-4r\right)+\left(-r+2\right).

$$\left(2r^{2}-4r\right)+\left(-r+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2r στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$2r\left(r-2\right)-\left(r-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο r-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(r-2\right)\left(2r-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε r-2=0 και 2r-1=0.

$$r=2 r=\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2r^{2}-5r+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -5 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 2.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 25 και το -16.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$r=\frac{5±3}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$r=\frac{5±3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{5±3}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 3.

$$r=\frac{8}{4}$$

Διαιρέστε το 8 με το 4.

$$r=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{5±3}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 5.

$$r=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$r=\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$r=2 r=\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}-5r+2=0$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2r^{2}-5r+2-2=-2$$

Η αφαίρεση του 2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2r^{2}-5r=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2r^{2}-5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r=-1$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{25}{16}.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Παραγον r^{2}-\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(r-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$r-\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r-\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Προσθέστε \frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r=2 r=\frac{1}{2}$$