Επίλυση 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Λύση ως προς r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2r^{2}+ar+br+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 4.

$$1,4 2,2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+4=5 2+2=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=1 b=4$$

Γράψτε πάλι το 2r^{2}+5r+2 ως \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε r στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2r+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2r+1=0 και r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 5 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 25 και το -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-5±3}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-5±3}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Διαιρέστε το -8 με το 4.

$$r=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

Η αφαίρεση του 2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Διαιρέστε το \frac{5}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Παραγον r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$