Επίλυση 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

Λύση ως προς r

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$r=-6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2r^{2}+ar+br+54. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 21.

$$a=9 b=12$$

Γράψτε πάλι το 2r^{2}+21r+54 ως \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right).

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

Παραγοντοποιήστε r στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2r+9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2r+9=0 και r+6=0.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 21 και το c με 54 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 21 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 441 και το -432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-21±3}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -21 και το 3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$r=-\frac{9}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-21±3}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

Διαιρέστε το -24 με το 4.

$$r=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Αφαιρέστε 54 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

Η αφαίρεση του 54 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2r^{2}+21r=-54$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

Διαιρέστε το -54 με το 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

Διαιρέστε το \frac{21}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{21}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{21}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{21}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

Προσθέστε το -27 και το \frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

Παραγον r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{21}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$