Επίλυση 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Λύση ως προς k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 7 και στις δύο πλευρές.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2k^{2}+ak+bk+7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 14.

$$1,14 2,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+14=15 2+7=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 9.

$$a=2 b=7$$

Γράψτε πάλι το 2k^{2}+9k+7 ως \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2k στην πρώτη και το 7 στη δεύτερη ομάδα.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο k+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε k+1=0 και 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Η αφαίρεση του -7 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Αφαιρέστε -7 από 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 9 και το c με 7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 81 και το -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-9±5}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Διαιρέστε το -4 με το 4.

$$k=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-9±5}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{9}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{9}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{9}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{9}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{2} και το \frac{81}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Παραγοντοποιήστε το k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{9}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$